LAISAC - Bài viết được đăng 2008

Download1 hoặc Download2
BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRONG CÁC TẠP CHÍ TOÁN HỌC
TRONG NĂM 2008

Bài 1:
Được đăng trong tháng 1 năm 2008 , mục: TIẾN TỚI OLUYMPIC TOÁN của tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ.

ĐỀ

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = frac{1}{{cos ^6 a}} + frac{1}{{cos ^6 b}} + frac{1}{{cos ^6 c}}$
trong đó ba số a, b, c là một cấp số cộng với công sai bằng $frac{pi }{3}$ .

Lời giải.
Lời giải Từ giả thiết ta có : $a = b - frac{pi }{3},;c = b + frac{pi }{3}$ .
Suy ra : $P = frac{1}{{cos ^6 a}} + frac{1}{{cos ^6 b}} + frac{1}{{cos ^6 c}}$ = $frac{1}{{cos ^6 left( {frac{pi }{3} - b} right)}} + frac{1}{{cos ^6 b}} + frac{1}{{cos ^6 left( {frac{pi }{3} + ...$

Xét phương trìmh : $c{rm{os}}^{rm{2}} 3a = mquad left( {0 le m le 1} right)$ (1)
Giả sử x = b là một nghiệm phương trình (1) Ùng với một giá trị m nào đó cho trước , nghĩa là $c{rm{os}}^{rm{2}} 3b = mquad$ ( đúng ) thì ta cũng có $a = b - frac{pi }{3}$ và $c = b + frac{pi }{3}$ là nghiệm phương trình (1)
vì : $c{rm{os}}^{rm{2}} 3a = c{rm{os}}^{rm{2}} left( {frac{pi }{3} - b} right) = c{rm{os}}^{rm{2}} 3b = m$ ;
$c{rm{os}}^{rm{2}} 3c = c{rm{os}}^{rm{2}} left( {frac{pi }{3} + b} right) = c{rm{os}}^{rm{2}} 3b = m$
Phương trình (1) viết lại :
$left( {4cos ^3 x - 3cos x} right)^2 = m Leftrightarrow 16cos ^6 x - 24cos ^4 x + 9cos ^2 x - m = 0$
Đặt $t = c{rm{os}}^{rm{2}} x;t in left[ {0;1} right]$ . Phương trình trở thành: $16t^3 - 24t^2 + 9t - m = 0$ (2)
Vậy nếu x = b là nghiệm phương trình (1) thì :
$t_1 = c{rm{os}}^{rm{2}} b,;t_2 = c{rm{os}}^{rm{2}} left( {b - frac{pi }{3}} right),;t_3 = c{rm{os}}^{rm{2}} l...$ là 3 nghiệm của phương trình (2) và ngược lại.
Theo đề toán ta có diều kiện :
$t_1 = c{rm{os}}^{rm{2}} b ne 0,;t_2 = c{rm{os}}^{rm{2}} left( {b - frac{pi }{3}} right) ne 0,;t_3 = c{rm{os}}...$
Nên từ phương trình (2) $Rightarrow m ne 0$ và phương trình viết lại $frac{m}{{t^3 }} - frac{9}{{t^2 }} + frac{{24}}{t} - 16 = 0$ ( 0 < m < 1 )
hay : $mX^3 - 9X^2 + 24X - 16 = 0$ ( với $X = frac{1}{t}$ ) (3).
Do đó theo định lý Viét cho phương trình (3) ta có :
$P = frac{1}{{cos ^6 a}} + frac{1}{{cos ^6 b}} + frac{1}{{cos ^6 c}}$
= $frac{1}{{cos ^6 left( {frac{pi }{3} - b} right)}} + frac{1}{{cos ^6 b}} + frac{1}{{cos ^6 left( {frac{pi }{3} + ...$
$= frac{1}{{t_{1^{} } ^3 }} + frac{1}{{t_2 ^3 }} + frac{1}{{t_3 ^3 }} = X_1 ^3 + X_2 ^3 + X_3 ^3 = left( {X_1 + X_2 +...$ - $3left( {X_1 + X_2 + X_3 } right).left( {X_1 X_2 + X_2 X_3 + X_3 X_1 } right) + 3X_1 X_2 X_3$ $= left( {frac{9}{m}} right)^3 - 3 cdot frac{9}{m} cdot frac{{24}}{m} + frac{{48}}{m} = frac{{729}}{{m^3 }} - frac{...$ .
Vậy: $P = frac{{729}}{{m^3 }} - frac{{648}}{{m^2 }} + frac{{48}}{m}.$
Đặt f(m) = $frac{{729}}{{m^3 }} - frac{{648}}{{m^2 }} + frac{{48}}{m}$ là hàm số ẩn m xác định trong ( 0 ; 1 ].
Có đạo hàm: $f'(m) = frac{{ - 48m^2 + 1296m^{} - 2187}}{{m^4 }}$ .
Lập bảng biến thiên ta sẽ có : $f'(m) < 0$ ; $forall m in left( {0;1} right] Rightarrow$ f(m) nghịch biến trong (0 ; 1 ]
$Rightarrow f(m) ge f(1) = 129$
Mặt khác $mathop {lim }limits_{m to 0^ + } f(m) = + infty$ .
Nên : $P ge 129$ khi và chỉ khi m = 1 $Leftrightarrow b = kfrac{pi }{3},;a = left( {k - 1} right)frac{pi }{3},;c = left( {k + 1} right)frac{pi }{3}$ ,.
Vậy : GTNN (P ) = 129 khi và chỉ khi a = $a = left( {k - 1} right)frac{pi }{3},;b = kfrac{pi }{3},;c = left( {k + 1} right)frac{pi }{3};$ ,
Bài 2.
Được đăng trong tháng 1/2008, muc: Giải toán qua thư của tạp chí Toán Tuổi thơ 2.
ĐỀ

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: $3a^2 + 2b^2 + c^2 le 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = frac{{3a}}{{bc}} + frac{{4b}}{{ac}} + frac{{5c}}{{ab}}.$

Lời giải .
Ta có $S^2 = frac{{9a^2 }}{{b^2 c^2 }} + frac{{16b^2 }}{{a^2 c^2 }} + frac{{25c^2 }}{{a^2 b^2 }} + 2.left( {frac{{12}}{{c^2 }}...$ .
$S^2 = 9.left( {frac{{a^2 }}{{b^2 c^2 }} + frac{{c^2 }}{{a^2 b^2 }}} right) + 16left( {frac{{b^2 }}{{a^2 c^2 }} + frac...$ .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :
$frac{{a^2 }}{{b^2 c^2 }} + frac{{c^2 }}{{a^2 b^2 }} ge frac{2}{{b^2 }}$ ; $frac{{b^2 }}{{a^2 c^2 }} + frac{{c^2 }}{{a^2 b^2 }} ge frac{2}{{a^2 }}$ .
$Rightarrow S^2 ge frac{{18}}{{b^2 }} + frac{{32}}{{a^2 }} + frac{{24}}{{c^2 }} + frac{{30}}{{b^2 }} + frac{{40}}{{a^2...$
Ta có $frac{3}{{a^2 }} + frac{2}{{b^2 }} + frac{1}{{c^2 }} = frac{1}{{a^2 }} + frac{1}{{a^2 }} + frac{1}{{a^2 }} + frac{1}{{b...$ .
$Rightarrow S^2 ge frac{{24.36}}{{3a^2 + 2b^2 + c^2 }}$ .
Theo giả thiết $3a^2 + 2b^2 + c^2 le 1$ $Rightarrow S^2 ge frac{{24.36}}{{3a^2 + 2b^2 + c^2 }} ge 24.36$ .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = frac{1}{{sqrt 6 }}$ .
Vậy, $S = 12sqrt 6$ là giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $a = b = c = frac{1}{{sqrt 6 }}$ .

Bài 3
Được đăng trong tháng 3/2008, mục Các lớp THCS của Toán Học & Tuổi Trẻ

ĐỀ: (Các lớp THCS)

Giải phương trình : $(x + 3).sqrt {(4 - x)(12 + x)} = 28 - x.$

Lời giải
Ta có $(x + 3).sqrt {(4 - x)(12 + x)} = 28 - x$
$Leftrightarrow$ $left[ {(x + 4) - 1} right].sqrt {64 - (x + 4)^2 } + (x + 4) = 32$ $Leftrightarrow (x + 4).sqrt {64 - (x + 4)^2 } + (x + 4) - sqrt {64 - (x + 4)^2 } = 32$
Đặt $X = x + 4;;$ $Y = sqrt {64 - X^2 }$ .Điều kiện $- 8 le X le 8;;quad Y ge 0$ .
Nghiệm phương trình trên thỏa mãn hệ phươnh trình
$left{ begin{array}{l} X.Y + X - Y = 32 X^2 + Y^2 = 64 end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l} XY + X - Y = 32 (X - Y)^2 + 2XY = 64 end{array} right. Leftrightarrow l...$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l} XY = 32 - (X - Y) left[ begin{array}{l} X - Y = 0 X - Y = 2 end{array...$
Suy ra $left{ begin{array}{l} XY = 32 X - Y = 0 end{array} right. Rightarrow X = 4sqrt 2 Rightarrow x = 4sqrt 2 - ...$
hoặc $left{ begin{array}{l} XY = 30 X - Y = 2 end{array} right.$ $Rightarrow X = 1 + sqrt {31} Rightarrow x = sqrt {31} - 3$
Thử lại, phương trình đã cho có hai nghiệm là :
$x = 4sqrt 2 - 4$ ; hoặc $x = sqrt {31} - 3$
…………………………………………….Hết………………………………………
Ta có thể xây dựng bài toán tổng quat sau :
Cho hai số thực tùy ý a,b giải phương trình:
$left( {x + b - 1} right).sqrt {(a - b - x)(a + b + x)} = frac{{a^2 }}{2} - b - x$
HD:Phương trình tương đương
$left[ {(x + b) - 1} right].sqrt {a^2 - (x + b)^2 } = frac{{a^2 }}{2} - (x + b)$
$Leftrightarrow (x + b).sqrt {a^2 - (x + b)^2 } + (x + b) - sqrt {a^2 - (x + b)^2 } = frac{{a^2 }}{2}$
Đặt $X = x + b,,quad Y = sqrt {a^2 - (x + b)^2 }$ .
Điều kiện $- left| a right| le X le left| a right|$ ; $Y ge 0.$
Ngiệm phương trình trên là nghiệm hệ
$left{ begin{array}{l} X.Y + X - Y = frac{{a^2 }}{2} X^2 + Y^2 = a^2 end{array} right.$
Tiếp tục giải phương trình đã cho sẽ có nghiệm : $x = frac{{left| a right|}}{{sqrt 2 }} - b$ …

                                                ĐỀ SỐ 4
           (Được đăng tháng 6/2008:Mục Thử sức trước kì thi THTT)

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH.

Câu I. (2 điểm).
Cho đường cong có hàm số $y = x^3 - 2x^2 - left( {m - 1} right)x + m$ (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 .
2. Trong trường hợp hàm số (1) đồng biến trong tập số thực R, tính m để diện tích hình phẳng giới hạn bỡi đồ thị của hàm số (1) và hai trục Ox,Oy có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích.
Câu II.( 2 điểm) .
1. Giải phương trình nghiệm thực: $1 - tan x.tan 2x = cos 3x.$
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số k để phương trình : $sqrt {(k + 1)4^x - 2^x + k} = 1 - 2^x$ có nghiệm.
Câu III .( 2 điểm)
1 .Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp (E) :. $x^2 + 4y^2 = 4$ Qua điểm M(1; 2) kẽ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với (E) tại A và B. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
2. Cho tam giác ABC thỏa mãn : $c{rm{os}}2A + sqrt 3 left( {c{rm{os}}2B + c{rm{os}}2C} right) + frac{5}{2} = 0$ . Tính ba góc của tam giác.
Câu IV . ( 2 điểm).
1. Tính tích phân : $I = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {2cos ^2 frac{x}{2} + xcos x} right)} .e^{sin x} dx$ .
2. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: $2.sqrt {xy} + sqrt {xz} = 1.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S = frac{{3yz}}{x} + frac{{4zx}}{y} + frac{{5xy}}{z}.$

PHẦN TỰ CHỌN:Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b.
Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban . ( 2 điểm)
1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng (d1) : $left{ begin{array}{l} x + 2y - 4 = 0 z - 3 = 0 end{array} right.$ ; (d2): $left{ begin{array}{l} y + z = 0 x - 1 = 0 end{array} right.$ .
Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên.
2. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số, sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nó.
Câu 5.b . Theo chương trình THPT phân ban thí điểm . ( 2 điểm)
1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng(ABCD) và SA = a. Tính diện tích của thiết diện tạo bỡi hình chóp với mặt phẳng qua A vuông góc với cạnh SC.
2. Giải bất phương trình : $log _{left( {x^2 - 1} right)} 3 le log _x 2$ $left( {x in R} right)$ .
…………………………...............................Hết…………………………..............................,

HƯỚNG DẪN GIẢI.

Câu I.1.Bạn đọc tự giải .
2. Ta có $y' = 3x^2 - 4x - m + 1.$
Để hàm số đồng biến trong tập số thực R khi $y' ge 0;forall x in R Leftrightarrow m le - frac{1}{3}$ (2).
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) với trục Ox:
$x^3 - 2x^2 - left( {m - 1} right)x + m$ $= 0 Leftrightarrow left( {x - 1} right)left( {x^2 - x - m} right) = 0$
$Rightarrow$ đồ thị (1) luôn cắt trục hoành tại điểm cố định (1 ; 0 ). Mặt khác vì hàm số là hàm bậc ba có hệ số cao nhất a = 1 > 0 , lại đồng biến trong R nên đồ thị luôn cắt trục tung có tung độ âm.
Hay khi $m le - frac{1}{3}$ v $y = x^3 - 2x^2 - left( {m - 1} right)x + m le 0;forall x in left[ {0;;1} right]$ .
Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bỡi đồ thị (1) và hai trục tọa độ là:
$S = - intlimits_0^1 {left( {x^3 - 2x^2 - (m - 1)x + m} right)} dx = - frac{1}{{12}} - frac{m}{2}$ .
Mà S = 1 $Leftrightarrow m = - frac{{13}}{6}$ (thỏa điều kiện (2)).
Câu II. 1.Điều kiện : $left{ begin{array}{l} cos x ne 0 cos 2x ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} cos...$
Phương trình tương đương :cos3x = cos3x.cosx.cos2x.
Hoặc : $cos 3x = 0 Leftrightarrow 4cos ^3 x - 3cos x = 0$
$Leftrightarrow cos 3x = 0 Leftrightarrow 4cos ^3 x - 3cos x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} cos x = 0;(loa...$ $Leftrightarrow x = pm frac{pi }{6} + kpi$ .
Hoặc:cosx.cos2x=1 $Leftrightarrow 2cos ^3 x - cos x - 1 = 0$ $Leftrightarrow (cos x - 1)(2cos ^2 x + 2cos x + 1) = 0$
$Leftrightarrow left[ begin{array}{l} (cos x - 1) = 0 (2cos ^2 x + 2cos x + 1) = 0 end{array} right. Leftrigh...$
$left[ begin{array}{l} x = 2mpi . 2cos ^2 x + 2cos x + 1 = 0quad (vn). end{array} right. Leftrightarrow x = 2...$
Vậy phương trình có nghiệm là : $x = pm frac{pi }{6} + kpi$ ; $x = 2mpi$ . $(k,m in Z)$ .
2. Đặt $t = 2^x$ ; đk $0 < t le 1$ $Rightarrow k = frac{{1 - t}}{{1 + t^2 }} = f(t)$ .
$Rightarrow f'(t) = frac{{t^2 - 2t - 1}}{{(1 + t^2 )^2 }} < 0,quad forall t in (0;1] Rightarrow f(1) le f(t) < f...$
Câu III .1 . Giả sử (x1 ; y1) ; (x2 ; y2) lần lượt là tọa độ hai tiếp điểm A và B .
Do đó, phương trình hai tiếp tuyến MA và MB là : $xx_1 + 4yy_1 = 4;xx_2 + 4yy_2 = 4$
Mà hai tiếp tuyến đều đi qua điểm M( 1 ; 2) nên : $x_1 = 8y_1 = 4;left( 3 right);x_2 = 8y_2 = 4;left( 4 right)$
Từ (3) và (4) chứng tỏ tọa độ hai điểm A và B thỏa mãn phương trinh x + 8y = 4.
Hay phương trình đường thẳng qua hai điểm A và B là x + 8y - 4 = 0.
1. Ta có $c{rm{os}}2A + sqrt 3 left( {c{rm{os}}2B + c{rm{os}}2C} right) + frac{5}{2}=0$
$Leftrightarrow 2c{rm{os}}^2 A - 2sqrt 3 c{rm{osA}}c{rm{os}}(B - C) + frac{3}{2} = 0$
$Leftrightarrow 2left( {cos A - frac{{sqrt 3 }}{2}c{rm{os}}(B - C)} right)^2 + frac{3}{2}sin ^2 (B - C) = 0$ .
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l} sin (B - C) = 0 cos A - frac{{sqrt 3 }}{2}c{rm{os}}(B - C) = 0 end{arr...$
Câu IV. 1. $I = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {2cos ^2 frac{x}{2} + xcos x} right)} .e^{sin x} dx$
Đặt $left{ begin{array}{l} u = e^{sin x} dv = dx end{array} right. Rightarrow$ $left{ begin{array}{l} du = cos x.e^{sin x} dx v = x end{array} right.$

     $Rightarrow J = left. {left( {xe^{sin x} } right)} right|_0^{frac{pi }{2}} -$ $intlimits_0^{frac{pi }{2}} {xcos x.} e^{sin x} .dx$

Vậy $I = left. {left( {xe^{sin x} } right)} right|_0^{frac{pi }{2}} + intlimits_0^{frac{pi }{2}} {cos x.e^{sin x} .d...$ + e – 1.

$= underbrace {intlimits_0^{frac{pi }{2}} {e^{sin x} .dx} }_J + intlimits_0^{frac{pi }{2}} {cos x.e^{sin x} .dx + ...$ .

2. Ta có
$S = frac{{3yz}}{x} + frac{{4zx}}{y} + frac{{5xy}}{z} = left( {frac{{yz}}{x} + frac{{zx}}{y}} right) + 2left( {frac{{...$
$ge 2z + 4y + 6x = 2(x + z) + 4(x + y)$
$ge 4sqrt {xz} + 8sqrt {xy} = 4(sqrt {xz} + 2sqrt {xy} = 4.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z = frac{1}{3}.$
Câu Va 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
$Rightarrow$ hai đường thẳng chéo nhau ( tự chứng minh).
Theo yêu cầu đề toán tâm I mặt cầu chính là trung điểm của đường vuông góc chung MN
của hai đường thẳng (d1) và (d2) và bán kính $R = frac{{MN}}{2}$
$left( {M in (d_1 );N in (d_2 )} right)$
Đường thẳng (d1) viết lại $left{ begin{array}{l} x = 4 - 2t y = t z = 3 end{array} right. Rightarrow VTCP;overrightarrow a = (2; - ...$ .
và M(4-2t ;t ;3) $in (d_1 )$ .
Đường thẳng (d2) viết lại $left{ begin{array}{l} x = 1 y = t' z = - t' end{array} right. Rightarrow VTCP;overrightarrow b = (0;1; ...$ ,
và $Nleft( {1;t'; - t'} right) in left( {d_2 } right)$
Suy ra $overrightarrow {MN} = (3 - 2t;t - t';3 + t')$ .
Để MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng (d1) và (d2) ,ta có $left{ begin{array}{l} overrightarrow {MN} bot overrightarrow a overrightarrow {MN} bot overrightarrow b ...$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 5t - t' - 6 = 0 t - 2t' - 3 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ ...$ .
Từ đó suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là : $(x - frac{3}{2})^2 + y^2 + (z - 2)^2 = frac{9}{4}$ .
2. Giả sử số đó là $x = overline {a_1 a_2 a_3 a_4 }$ .Theo yêu cầu bài toán các chữ số a1, a2, a3, a4 khác nhau từng đôi một và khác không , và x là số chẵn nên ta có các trường hợp sau :
TH1: $a_4 = 4$ từ yêu cầu đề toán số đó là x = 1234. Do đó có một cách chọn .
TH2: $a_4 = 6$ , từ yêu cầu đề toán ba số hạng $a_1 ,a_2 ,a_3$ chỉ được lấy trong tập $left{ {1,2,3,4,5} right}$ và các chũ số tăng dần nên có $C_5^3 = 10$ số cho trường hợp này .
TH3 : $a_4 = 8$ ,tương tự ba số hạng a1, , a2 , a3 còn lại chỉ được lấy trong tập nên có $C_7^3 = 35$ số cho trường hợp này.
Vậy có 1+10 + 35 = 46 số được chọn theo yêu cầu đề toán .
Câu Vb.1. Bằng phương pháp tọa độ ,chọn A(0,0,0) ,B(a ;0 ;0) ; D(0 ;a ;0) ; C(a;a ;0) ; S(0 ;0 ;a).
Giả sử mặt phẳng (P) đã cho cắt SB, SC ; SD lần lượt tại E, G , F. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc SC nên nhận vectơ $overrightarrow {SC} = (a;a; - a)$ làm VTPT $Rightarrow$ phương trình (P) là x + y -z = 0 .(5)
Ta lập phương trình đường thẳng SD $left{ begin{array}{l} x = 0 y = t z = a - t end{array} right.$ (6) . F là giao điểm của SD và (P) nên nó là nghiệm hệ phương trình ( 5) và (6) $Rightarrow F(0;frac{a}{2};frac{a}{2})$ . Tương tự G là giao điểm của (P) và SC $Rightarrow G(frac{a}{3};frac{a}{3};frac{{2a}}{3})$ .
Do đó diện tích thiết diện AEGF : $S = 2dt(AGF) = left| {left[ {overrightarrow {AG} ;;overrightarrow {AF} } right]} right| = frac{{a^2 }}{{2sqrt 3 }}.$
2. Điều kiện : x>1 , $x ne sqrt 2$ .
Ta có $log _{left( {x^2 - 1} right)} 3 le log _x 2$
$Leftrightarrow$ $frac{1}{{log _3 (x^2 - 1)}} le frac{1}{{log _2 x}}$ .
Khi $1 < x < sqrt 2$ ta có vế trái $frac{1}{{log _3 (x^2 - 1)}} < 0$ và vế phải $frac{1}{{log _2 x}} > 0$ .
Bất phương trình luôn đúng.
Nên bất phương trình có nghiệm $1 < x < sqrt 2$ .
Khi $x > sqrt 2$ hai vế bất phương trình đều dương ,nên bất phương trình tương đương $log _2 x le log _3 (x^2 - 1)$ .
Đặt $t = log _2 x$ . Khi $x > sqrt 2$ $Rightarrow t > frac{1}{2}$ và $x = 2^t$ .
Bất phương trình viết lại $3^t le 4^t - 1 Leftrightarrow left( {frac{3}{4}} right)^t + left( {frac{1}{4}} right)^t le 1$ (7)
Đặt $f(t) = left( {frac{3}{4}} right)^t + left( {frac{1}{4}} right)^t$ là hàm số liên tục trong $(frac{1}{2}; + infty )$
Ta có $f'(t) = left( {frac{3}{4}} right)^t ln frac{3}{4} + left( {frac{1}{4}} right)^t ln frac{1}{4} < 0 Rightarrow$ f(t) là hàm số giảm trong $(frac{1}{2}; + infty )$
Mặt khác ta có $f(1) = 1$ . Do đó bất phương trình (8) viết lại $f(t) le f(1) Leftrightarrow t ge 1 Leftrightarrow log _2 x ge 1 Leftrightarrow x ge 2$
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $1 < x < sqrt 2$ hoặc $x ge 2$
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,HẾT,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,