LAISAC - Thử sức trước kì thi 2009

Bạn có thể bấm vào đây để download toàn bộ
các đề từ 2003-2009

THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI NĂM 2009

ĐỀ THI SỐ 1
( Thời gian làm bài :180 phút)

I. PHẦN CHUNG
Câu 1: ( 2 điểm )
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
$y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}(C).\$

2) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của $m$ , đường thằng $y=-x+m (d)$ luôn cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thằng $AB$ .
Câu 2: ( 2 điểm )
1) Giải phương trình ${3^{{x^2}}}{.2^{\frac{x}{{2x - 1}}}} = 6.\$

2)Giải phương trình $\tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\sin 3x = {\{\rm \nolimits} {\rm{sinx}} + \sin 2x.\$
Câu 3: ( 1 điểm )
Tính thể tích hình chóp $S.ABC$ biết $SA=a, SB=b, SC=c,\widehat{{\rm{AS}}B} = {60^o},\widehat{BSC} = {90^o},\widehat{CSA} = {120^o}.\$

Câu 4: ( 1 điểm )
Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin {\rm{x}}dx}}{{{{\left( {{\{\rm }\nolimits} {\rm{sinx}} + \sqrt 3 {\rm{cosx} \right)^3\$

Câu 5: ( 1 điểm )
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt {\log _2^2x + 1} + \sqrt {\log _2^2y + 1} + \sqrt {\log _2^2z + 4} \$
trong đó $xy,z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz=8$

II. PHẦN RIÊNG( Thi sinh chỉ làm một trong hai phần)

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN

Câu 6a: ( 2 điểm )
1) Trong mặt phằng với hệ trục tọa độ vuông góc $Oxy$ , cho hai đường thẳng có phương trình: $x + y + 1 = 0{\rm{ (}}{d_1});{\rm{ 2}}x - y - 1 = 0{\rm{ (}}{d_2}).\$
Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(1,1)$ cắt $(d_1),(d_2)$ tương ứng tại $A,B$ sao cho $2\ {MA}\limits^ \to + \ {MB}\limits^ \to = \0\limits^ \to \$ .

2)Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+2y-2z+1=0$ và hai điểm $A(1,7,-1);B(4,2,0)$ . Lập phương trình đường thẳng $(d)$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $AB$ trên mặt phẳng $(P)$ .

Câu 7a: ( 1 điểm )
Kí hiệu $x_1,x_2$ là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai $2x^2-2x+1=0$ . Tính giá trị các số phức $\frac{1}{{x_1^2}}\$ và $\frac{1}{{x_2^2}}\$ .

THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Câu 6b: ( 2 điểm )
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc $Oxy$ , cho hyperbol $(H)$ có phương trình $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\$ . Giả sư $(d)$ là một tiếp tuyến thay đổi và $F$ là một trong hai tiêu điểm của $(H)$ , kẻ $FM$ vuông góc với $(d)$ . Chứng minh rằng $M$ luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó.

2) Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1,0,0);B(0,2,0);C(0,0,3).$ Tìm tọa độ trực tâm của tam giác $ABC$ .

Câu 7b: ( 1 điểm )
Người ta sử dụng $5$ cuốn sách Toán, $6$ cuốn Vật Lí, $7$ cuốn Hóa học (các cuốn sách cùng loại giống nhau) để làm giải thưởng cho $9$ học sinh, mỗi học sinh được hai cuốn sách khác loại. Trong số 9 học sinh trên có hai bạn Ngọc và Thảo. Tìm xác suất để hai bạn Ngọc và Thảo có giải thưởng giống nhau.
NGUYẾN ANH DŨNG ( Hà Nội)

ĐỀ THI SỐ 2
( Thời gian làm bài :180 phút)

I. PHẦN CHUNG
Câu 1: ( 2 điểm )
Cho hàm số $y = \frac{{2x - 4}}{{x + 1}}(C)$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C).$
2) Tìm trên đồ thị $(C)$ hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng $MN$ biết $M(-3;0)$ và $N(-1;-1).$
Câu 2: ( 2 điểm )
1) Giải phương trình $4{\cos ^4}x - \cos 2x - \frac{1}{2}\cos 4x + \cos \frac{{3x}}{4} = \frac{7}{2}.$
2)Giải phương trình ${3^x}.2x = {3^x} + 2x + 1.$
Câu 3: ( 1 điểm )
Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}} \right){e^x}dx.}$
Câu 4: ( 1 điểm )
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ độ dài cạnh bên bằng $1.$ Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy một góc $\alpha.$ Tính thể tích hình cầu nội tiếp bởi hình chóp $S.ABC.$
Câu 5: ( 1 điểm )
Trong hệ tọa độ Đềcác $Oxyz$ cho đường thẳng $l$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t \\y = - 2t \\ z = 4 + 2t \\ \end{array} \right.(t \in R)$ và hai điểm $A(1;2; - 1),B(7; - 2;3).$
Tìm trên đường thẳng $l$ những điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó đến $A$ và $B$ là nhỏ nhất.
II. PHẦN RIÊNG( Thi sinh chỉ làm một trong hai phần)

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu 6a: ( 2 điểm )
1) Năm đoạn thẳng có độ dài $1 cm, 3 cm, 5 cm, 7 cm, 9 cm.$ Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng trên. Tìm xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra thành một tam giác.
2) Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt x - 8\sqrt y = \sqrt x + y\sqrt y \\ x - y = 5 \\ \end{array} \right.$
Câu 7a: ( 1 điểm )
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x(2\cos x - \sin x)}},$ với $0 < x \le \frac{\pi }{3}.$

THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Câu 6b: ( 2 điểm )
1) Tìm tất cả các giá trị của $x$ trong khai triển nhị thức Newton: ${\left( {\sqrt {{2^{\lg (10 - {3^x})}}} + \sqrt[5]{{{2^{(x - 2)\lg 3}}}}} \right)^n}$ biết rằng số hạng thứ sáu của khai triển bằng $21$ và $C_n^1 + C_n^3 = 2C_n^2.$
2) Cho $\alpha = 3\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right).$ Tìm các số $\beta$ sao cho ${\beta ^3} = \alpha .$
Câu 7b: ( 1 điểm )
Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $2.$
Chứng minh rằng $\frac{{52}}{{27}} \le {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc < 2.$

HUỲNH DUY THỦY ( GV THPT Tăng Bạt Hổ, Hoài Nhơn, Bình Định )

ĐỀ THI SỐ 3
( Thời gian làm bài :180 phút)

I. PHẦN CHUNG
Câu 1: ( 2 điểm )
Cho hàm số $y = \frac{{(2m - 1)x - {m^2}}}{{x - 1}}(1)$ ( $m$ là tham số ).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số $(1)$ ứng với $m=-1.$
2) Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ tiếp xúc với đường thẳng $y=x.$

Câu 2: ( 2 điểm )
1) Giải phương trình $\\log _2(x(x + 9)) + {\log _2}\frac{{x + 9}}{x} = 0.$
2)Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1 \\\sqrt {x + y} = {x^2} - y \\\end{array} \right..$

Câu 3: ( 2 điểm )
1) Tìm giới hạn $L = {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + {x^2})}}{{{e^{ - 2{x^2}}} - \sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}.$
2) Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin xdx}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}.}$

Câu 4: ( 1 điểm )
Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính $r$ cho trước. Tính thể tích hình chóp cụt, biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ.

Câu 5: ( 1 điểm )
Cho phương trình $\frac{{3{x^2} - 1}}{{\sqrt {2x - 1} }} = \sqrt {2x - 1} + mx$   ( $m$ là tham số).
Tìm $m$ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

II. PHẦN RIÊNG( Thi sinh chỉ làm một trong hai phần)

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu 6a: ( 2 điểm )
1) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mp $(P)$ có phương trình $x+y+z+3=0$ ; đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}$ và các điểm $A(3;1;1); B(7;3;9); C(2;2;2).$
a) Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và song song với mp $(P)$ .
b) Tìm tọa độ điểm $M$   thuộc mp $(P)$ sao cho $\left| {\ {MA}\limits^ \to + {2MB}\limits^ \to + {3MC}\limits^ \to } \right|$ nhỏ nhất.

2) Cho đường tròn $(C): x^2+y^2-6x-2y+1=0.$
Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M(0;2)$ và cắt $(C)$ theo một dây cung có độ dài $l=4.$

Câu 7a: ( 1 điểm )
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ ( với $n>2$ ), ta có $n^n(n-2)^{n-2}>(n-1)^{2(n-1)}.$

THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Câu 6b: ( 2 điểm )
1) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình: $3x+2y-z+4=0$ và hai điểm $A(4;0;0)$ và $B(0;4;0).$ Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $AB$ . Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng   $(\alpha )$ và xác định tọa độ điểm $K$ sao cho $KI$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ , đồng thời $K$ cách đều gốc tọa độ $O$ và mặt phẳng $(\alpha ).$

2) Cho elip $(E)$ có phương trình $\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1.$
Tìm các điểm $M$ thuộc $(E)$ nhìn hai tiêu điểm của elip $(E)$   dưới một góc $120^o.$

Câu 7b: ( 1 điểm )
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ ( với $n \ge 2$ ), ta có ${\ln ^2}n > \ln (n - 1).\ln (n + 1).$

NGUYÊN VĂN THÔNG ( GV THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng  )

ĐỀ THI SỐ 4

( Thời gian làm bài :180 phút)

I. PHẦN CHUNG
Câu 1: ( 2 điểm )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = {x^3} - x.$

2) Dựa vào đồ thị, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình ${x^3} - x = {m^3} - m.$

Câu 2: ( 2 điểm )
1) Giải phương trình ${\cos ^2}x + \cos x + {\sin ^3}x = 0.$

2)Giải phương trình ${(3 + 2\sqrt 2 )^x} - 2{(\sqrt 2 - 1)^x} - 3 = 0.$

Câu 3: ( 1 điểm )
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ . Biết $AB=AD=a$ , $CD=2a$ , cạnh bên $SD$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SD=a$ . Tính thể tích tứ diện $ASBC$ theo $a.$

Câu 4: ( 1 điểm )
Cho $I = \int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{2{e^{3x}} + {e^{2x}} - 1}}{{{e^{3x}} + {e^{2x}} - {e^x} + 1}}} dx.$ Tính $e^I.$

Câu 5: ( 1 điểm )
Cho tam giác $ABC$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$p = sum {sqrt {frac{{left( {1 + tan ^2 frac{A}{2}} right)left( {1 + tan ^2 frac{B}{2}} right)}}{{1 + tan ^2 frac{C}{2}}}} }$

II. PHẦN RIÊNG( Thí sinh chỉ làm một trong hai phần)

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu 6a: ( 2 điểm )
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $(C): x^2+y^2-4y-5=0.$ Hãy viết phương trình đường tròn $(C')$ đối xứng với đường tròn $(C)$ qua điểm $M\left( {\frac{4}{5};\frac{2}{5}} \right).$

2) Viết phương trình tham số của đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $I(1;5;0)$ và cắt hai đường thẳng
${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t \\y = 4 - t \\z = - 1 + 2t \\\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{z}{{ - 3}}.$

Câu 7a: ( 1 điểm )
Cho tập hợp $D = \left\{ {x \in |{x^4} - 13{x^2} + 36 \le 0} \right\}.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3x$ trên $D.$

THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Câu 6b: ( 2 điểm )
1) Biết elip $({E_1}):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ và elip $({E_2}):\frac{{{x^2}}}{{12}} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1$ có tiêu điểm chung $F_1$ và $F_2,$ cùng đi qua điểm $M$ nằm trên đường thẳng $x-y+6=0.$ Tìm vị trí điểm $M$ để trục lớn của $(E_1)$ là nhỏ nhất.

2) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng
${d_1}:\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 9}}{{ - 1}}$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 7t \\y = 1 + 2t \\z = 1 + 3t \\\end{array} \right..$

Câu 7b: ( 1 điểm )
Giải phương trình ${z^3} + (1 - 2i){z^2} + (1 - i)z - 2i = 0$
biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.

TRẦN VĂN HẠNH ( GV trường ĐH Phạm Văn Đồng, Quảng Ngãi )